Ο Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν στις 11 Νοεμβρίου 2002 δημοσίευσε αθόρυβα την εργασία του στην οποία έλυνε μία από τις πιο διάσημες εικασίες των μαθηματικών – την εικασία του Πουανκαρέ. Στη συνέχεια απέρριψε το έπαθλο του 1 εκατομμυρίου δολαρίων που την συνόδευε.
Μια κρύα μέρα του Νοεμβρίου, ένας μαθηματικός που ζούσε ήσυχα στη Ρωσία δημοσίευσε μια εργασία στον ιστότοπο arxiv.org. Δημοσιεύτηκε από τον «Grisha Perelman» και είχε τίτλο The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications» και αποτέλεσε την βάση για μία από τις πιο σημαντικές μαθηματικές αποδείξεις. Η εργασία ήταν η πρώτη από τις τρεις που δημοσιεύθηκαν τον επόμενο χρόνο και απόδειξαν την αναπάντητη εικασία που είχε διατυπώσει πριν από σχεδόν έναν αιώνα ο Henri Poincaré.
Με απλά λόγια, ο Poincaré υπέθεσε ότι αν σε οποιονδήποτε τρισδιάστατο χώρο – από μια γάτα ως το Empire State Building – σχεδιάσεις έναν κλειστό βρόχο και μπορείς να τον συρρικνώσεις συνεχώς σε σημείο χωρίς να σπάσεις ούτε τον βρόχο ούτε τον χώρο, τότε ο χώρος είναι τοπολογικά ισοδύναμος με μια σφαίρα.
Ο μαθηματικός Stephen Smale απέδειξε το 1961 την εκδοχή της εικασίας του Πουανκαρέ για διαστάσεις ≥5, κερδίζοντας το φημισμένο μετάλλιο Fields των μαθηματικών. Αλλά η τρισδιάστατη περίπτωση αποδείχθηκε η πιο δυσεπίλυτη.
Τη δεκαετία του 1980, ο Richard Hamilton, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Columbia, πρότεινε την επίλυση της εικασίας χρησιμοποιώντας μια μαθηματική τεχνική που ονομάζεται ροή Ricci, η οποία ήταν χρήσιμη για τη θεωρία της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν, καθώς και για τη θεωρία χορδών.
Το 2006, ο δημοσιογράφος των New York Times, Dennis Overbye, παρομοίασε την τεχνική ροής Ricci με τη χρήση θερμότητας από πιστολάκι για να λειάνεις ένα θερμοσυρρικνούμενο φιλμ. Με παρόμοιο τρόπο, η ροή Ricci λειαίνει πτυχώσεις και καμπυλώσεις και απλοποιεί ένα περίπλοκο σχήμα σε ένα πιο θεμελιώδες.
Η ροή Ricci τείνει να απλοποιεί τα σχεδόν σφαιρικά σχήματα σε σφαίρες, όμως σε πιο περίπλοκα σχήματα οι ιδιομορφίες -σημεία όπου η καμπυλότητα γίνεται άπειρη – συνέχιζαν να εμφανίζονται. Οι τοπολόγοι μπορούν να κάνουν ένα είδος “χειρουργικής” για να αφαιρέσουν αυτές τις ιδιομορφίες, αλλά υπήρχε πάντα το ενδεχόμενο οι ιδιομορφίες να συνεχίζουν να εμφανίζονται ξανά επ’ άπειρον. Οι ερευνητές είχαν βρεθεί σε αδιέξοδο.
Ο Perelman είχε περάσει την προηγούμενη δεκαετία κάνοντας μεταδιδακτορική έρευνα στις ΗΠΑ σε διάφορα πανεπιστήμια. Στα μέσα της δεκαετίας του 1990, απέρριψε πολύ τιμητικές υποτροφίες μαθηματικών στις ΗΠΑ και την Ευρώπη, επέστρεψε στην Αγία Πετρούπολη και εργάστηκε στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Steklov.
Ο φιλικός αλλά ντροπαλός και «απόκοσμος» μαθηματικός «έμοιαζε με τον Ρασπούτιν, με μακριά μαλλιά και νύχια» και έλεγε στους συναδέλφους του ότι απολάμβανε την πεζοπορία στα δάση γύρω από την Αγία Πετρούπολη, ψάχνοντας μανιτάρια, όπως δήλωσε ο Robert Greene, μαθηματικός στο UCLA, στον Overbye το 2006. Σύμφωνα με τους συναδέλφους του, φαινόταν εντελώς αδιάφορος για τον πλούτο ή την υλική επιτυχία.
Ο Perelman έμεινε στην αφάνεια μετά την επιστροφή του στη Ρωσία στα μέσα έως τα τέλη της δεκαετίας του 1990, και πολλοί από τους συναδέλφους του πίστευαν ότι είχε εγκαταλείψει εντελώς τα μαθηματικά. Στη συνέχεια, ο Πέρελμαν δημοσίευσε την εργασία του το 2002. Τον επόμενο χρόνο, δημοσίευσε δύο ακόμη εργασίες και έδωσε μια σειρά ομιλιών σε πολλά κολέγια της Ανατολικής Ακτής, εξηγώντας τη διαδικασία του. Στη συνέχεια, αποσύρθηκε για άλλη μια φορά στο παρασκήνιο.
Το έργο του Perelman έδειξε ότι οι ιδιομορφίες ανάγονται σε απλά πρότυπα, όπως τμήματα σφάιρας ή κυλινδρικούς “λαιμούς” κι ότι αν ακολουθήσεις τη ροή Ricci με τις κατάλληλες “χειρουργικές” τομές ως το τέλος, το τρισδιάστατο σχήμα καταλήγει σε σφαίρα. Απέδειξε έτσι την εικασία του Poincaré, αλλά χρειάστηκαν μερικά ακόμη χρόνια ώστε οι μαθηματικοί να μελετήσουν τις πρωτότυπες και εξαιρετικά τεχνικές αποδείξεις του και να επιβεβαιώσουν ότι το μεγάλο τοπολογικό πρόβλημα πράγματι λύθηκε.
Το 2006, οι μαθηματικοί John Morgan και Gang Tian δημοσίευσαν μια εργασία 473 σελίδων που έδειχνε ότι το έργο του Perelman, βασιζόμενο σε αυτό του Hamilton, απέδειξε στην πραγματικότητα την εικασία. Στον Perelman προσφέρθηκαν το περίφημο Μετάλλιο Fields και το βραβείο μαθηματικών Clay Millennium, τα οποία συνοδεύονταν από ένα βραβείο 1 εκατομμυρίου δολαρίων. Τα απέρριψε, σύμφωνα με πληροφορίες λόγω αντιρρήσεων σχετικά με το πώς αποδόθηκε η αναγνώριση για την επίλυση του προβλήματος.
Ο Perelman παραιτήθηκε από τη θέση του στο Ινστιτούτο Steklov το 2005 και έκτοτε αποφεύγει σθεναρά τα φώτα της δημοσιότητας. Δεν είναι σαφές αν εξακολουθεί να εργάζεται στα μαθηματικά στο διαμέρισμά του στην Αγία Πετρούπολη, όπου από τις αρχές της δεκαετίας του 2010, οι γείτονές του έλεγαν ότι φρόντιζε την ηλικιωμένη μητέρα του. Όταν ένας δημοσιογράφος προσπάθησε να επικοινωνήσει μαζί του το 2010, απέρριψε μια συνέντευξη, λέγοντας: «Με ενοχλείτε. Μαζεύω μανιτάρια».
